09.品質管理

表 5 . 数学の歴史

年号	出来事

B.C.300	アラビア数字
◇ 16世紀
◇ 17世紀ニュートン力学バロック美術微分・積分座標
	デカルト、数と図形を結び付けた解析幾何学
	ニュートン、微分積分学 ^10 )
	パスカル、フェルマーが賭博に関する研究（確率論と統計学） ^11 )
◇ 18世紀熱素の否定

放射能と指数分布

放射能計測と一様分布

一様分布と乱数とモンテカルロ法

格子定数と粉末Ｘ線回折

格子の乱れとピークの幅－正規分布－

確率変数と確率分布

ある確定した確率の元で、偶然的に表れる変数を確率変数と呼ぶ。特に、サイコロの目のような離散的な確率変数についての確率分布を離散分布または離散確率分布と呼ぶ。一方、実数で表される連続的な確率変数に対する確率分布を連続分布あるいは連続確率分布と呼ぶ。
^12

)
02 09 品質管理

分布関数と確率密度関数

図 1 . 分布関数と確率密度関数

python (colab)→ png→ svg→ html

連続分布で、確率変数xがある値より小さい値である確率をxの関数を分布関数（累積分布関数）と言います ^13

) 。

粉体の粒径を表すには、残留率曲線、通過率曲線、頻度分布曲線、あるいはヒストグラムが使われます。残留率および通過率が50％になる粒径をメジアン径、頻度分布が最大になる粒径をモード径と言います。メジアン径やモード径は、平均粒径として使われます ^14

) 。

分布関数と確率密度関数

# ■■■ 分布関数と確率密度関数 ■■■
from scipy import stats
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random

sm = 52.2 # 平均（母平均）
ss = 9.5 # 標準偏差（母標準偏差）

fig = plt.figure()

ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 2)
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 1)

x = np.arange(start = sm - 3 * ss, stop = sm + 3 * ss, step = ss * 0.1)
ax1.plot(x, stats.norm.pdf(x = x, loc = sm, scale = ss))
ax2.plot(x, stats.norm.cdf(x = x, loc = sm, scale = ss))
plt.show()

# ■■■ 分布関数と確率密度関数 ■■■

©K.Tachibana

全数調査（悉皆(しっかい)調査）と標本調査（サンプル調査）

無限に実験を繰り返すことはできません。実験や測定は有限回ですから、測定は、標本調査になります。少なくともn=3ないと、自由度不足から、統計的手法は使えません。

非破壊試験では、全数調査もできますが、破壊試験では、商品をダメにしてしまいますから、必然的に、標本調査（抜き取り試験）になります。

データ、データベース、ビッグデータ

表 6 . データ、データベース、ビッグデータ

種類	説明	サイズ

データ	単レコード	紙
データベース	1000～１０億レコード	内部ストレージクラウド
データリボジトリ		クラウド * データのオープンアクセスを目指す
ビッグデータ	それ以上	クラウド

11.情報処理概論品質管理データ

ビッグデータは、人間では処理できず、コンピュータの助けを借りて処理するデジタルデータの集合です。コンピュータの助けを借りるには、数学やプログラミング言語のスキルが必須です。数学は、特に集合論、代数、確率統計などのスキルが要求されます。

ビッグデータは、クラウド上に電子的あるいは磁気的な方法で記録されており、すべてを紙に印刷することは不可能です。つまり、すべてを見た人は、誰もいないということです。

人は、コンピュータの助けを借りて、ビッグデータの一部を選択して抽出したり（検索）、全体の傾向を抽象化してみたり（統計）することになります。それを見て、はじめて人は、意思決定し、行動を起こします。

言い換えれば、ビッグデータは、そのままでは、情報ではありません。人がコンピュータにプログラムを与え、ビッグデータを処理してはじめて、人に有用な情報になるのです。

母平均と標本平均

確率分布の代表値と用いられる値の一つに、確率変数の期待値（ expectation ）がある。

$E [x] =$ σxiP(x)

$E [x] =$ ∫xiP(x)

母集団をある確率分布で表したとき、その確率分布に従う確率変数の期待値（ expectation ）をその母集団の 母平均 と呼ぶ。

$μ = E [x]$
^15

)
品質管理

アプリ

アプリには、オペレーティングシステム (OS) 上で動く、インストールアプリと、 Webブラウザ上で動く Webアプリがあります ^18

) 。

アカウントを有効化して、サービスやアプリを利用する（ログイン、ログオン、サインイン）には、認証が必要です。

人気プログラミング言語は、java script、そしてpyton*と続きます。 *

無作為抽出

表 8 . 無作為抽出

アプリ＆言語	プログラム例

SQL *	NEWID()を使って、乱数を生成し、ソートして上位をとる。 select top(1) * from contents order by NEWID()
Python *	randomモジュールのsampleメソッドを使う。
offce365 /Excel *	セルにRAND()を使って、乱数を生成し、ソートして上位をとる。基本的にはSQLと同じ考え方。 Excel のような表計算アプリの中で、無作為抽出をするのは現実的ではなく、予めデータベースで抽出すると良い。

母集団から標本を抜き取るときに、公平でないと母集団の平均値やばたつきを正しく推測できません ^19

) 。試料採取（サンプリング）で、もっとも簡便なのは、一様乱数を使った単純ランダムサンプリングです。

人数、個体数のような母集団が数えられる離散集合でも、混塊混合物、液体、気体面状態のような（バルクマテリアル）数えられない離散集合でも、単純ランダムサンプリングが簡便です。

単純ランダムサンプリングでは、母集団に番号（ＩＤ）をつけ、一様乱数で標本を決めます。乱数の発生は、予測不可能でなくてはならず、高度な数学的技術が要求されます。クレジットカードの番号のようなセキュリティに関わるところでは、乱数の発生技術そのものがセキュリティの対象です。

式の要素

表 9 . 式の要素

要素	数式	プログラミング言語
要素	数式	C	python

変数	$x$	public double x;
関数	$f$	double f(double x);
関数と従属変数	$y = f (x)$	double f(double x) { return y; }
定義域	$x = 0 : y = f (x)$ $x > 0 : y = g (x)$	C では、VBのselect構文のように switch構文では、定義域を指定することはできません。結局if構文をネストさせることになります。	python では、switch構文はありませんが、 elif構文でネストさせずに定義域を指定できます。 if x == 0: print('0') elif x < 0: print('負') elif x > 1: print('正') else: print('発散')
和	$S = \sum_{i = 1}^{n} k_{i}$	for ( i = 1; i < n; i ++ ) { s += k[i]; }	for i in range(1, n): s = s + k[i] *

Phthon (パイソン）は、多様なデータ構造が組み込まれているので、データ処理しやすい言語仕様です。 Anaconda（アナコンダ）や、Google Colaboratoyなどの開発環境があります。 Phthonには、数値計算ライブラリNumPyがあります。 NumPyは、CやふFORTRANで、実装されていて、高速で実行できます。ほかにも、Matplotlib(グラフ描画ライブラリ） pandas(データ分析ライブラリ） TensorFlow(機械学習ライブラリ）　OpenCV（画像処理ライブラリ）など便利なライブラリが多数あります。

図形と関数

正規分布関数

表 11 . 数・数字・数値

概念	種類	例

数	自然数	1,2
	有理数	-1（整数、負数）,0.5（小数）,1/3（分数）
	無理数	√2（無理数）は、根号と数字で表現されます。 π（円周率）、e（ネーピアの底）は数を表現する文字ですが、数字ではありません。
数字	算用数字	1234567890	アラビア数字、インド数字と呼び名には歴史的経緯があります。 0という数字の発明により * 、数値に桁（デジット）の概念が導入され、計算が著しく早くなりました。
	漢数字	一二三壱弐参
	ローマ数字	ⅠⅡⅢⅣⅤ	11世紀商人が計算に便利な算用数字を使おうとしていたところ、ギルドが公文書でその使用を禁止しました * 。
数値	数量を数字で表現（デジタル表示）	3.14,6.02×10²³	量を数にするには、単位が必要です。ただし、単位は、人が決めたものなので、物理の範疇にはありません *。数値は、数式に代入することができます。量と量との関係を表現した物理の関係式は、人が決めた単位に依存しないので、単位を書くべきではありません。

数を数字で表現する方法として、アラビア数字による位取り記数法があります。（新　情報技術基礎p.26）コンピュータの内部では、符号付き整数、倍精度浮動小数点数型（FP64-64bit）、などとして表現されます。

データは、思想や感情を含まないメディアにデジタル記録可能な表現です。

正規乱数のヒストグラム

図 3 . 正規乱数のヒストグラム

©K.Tachibana

確率分布

正規乱数のヒストグラム

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

sm = 52.2 # 平均（母平均）
ss = 9.5 # 標準偏差（母標準偏差）
sn = 1000 # 母数
x = np.random.normal(loc=sm, scale=ss, size=sn)

plt.hist(x)
plt.show()

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体重

表 12 . 21才女性の体重データの例
番号	値	番号	値	番号	値	番号	値	番号	値

1	62.73	2	52.06	3	46.86	4	48.04	5	38.12
6	51.32	7	74.60	8	72.08	9	55.24	10	79.60
11	52.08	12	40.84	13	53.41	14	59.13	15	58.56
16	46.57	17	62.09	18	59.54	19	43.81	20	54.25
21	55.89	22	62.49	23	59.10	24	65.20	25	48.80
26	59.77	27	41.83	28	62.56	29	49.15	30	55.68
31	41.19	32	48.57	33	49.59	34	55.75	35	58.62
36	62.68	37	38.08	38	64.49	39	54.26	40	55.29
41	32.80	42	59.82	43	52.91	44	36.03	45	45.18
46	63.06	47	66.83	48	59.26	49	43.07	50	57.61
51	59.66	52	53.01	53	45.94	54	48.68	55	55.60
56	52.80	57	47.11	58	51.17	59	51.53	60	61.50
61	58.75	62	54.52	63	53.57	64	64.51	65	61.53
66	60.23	67	55.54	68	47.20	69	50.80	70	39.62
71	65.34	72	44.65	73	44.10	74	58.04	75	56.82
76	66.87	77	61.91	78	45.36	79	39.75	80	47.24
81	37.62	82	54.42	83	62.64	84	61.17	85	45.24
86	72.23	87	45.03	88	56.03	89	47.49	90	36.44
91	36.60	92	51.37	93	52.17	94	34.35	95	60.14
96	52.47	97	58.49	98	47.21	99	63.81	100	60.06

表 13 . 統計量
項目	全数検査（母集団）	抜き取り検査（標本）

数	母数n=100	標本数=8
平均	母平均 $μ$ =53.55	標本平均= $\overline{x}$ 55.37
標準偏差	母標準偏差 $σ$ =9.28	標本標準偏差 $s$ =13.55
分散(Variance)	母分散 $σ^{2}$ =86.08	不偏分散 $s^{2}$ =183.54
偏差平方和	$S$ =5,354.86	$S$ =442.92

標本標準偏差は、母標準偏差の不偏推定量ではないが、母標準偏差の推定は、近似的に標本標準偏差で行うことが多い ^20

) ^21

) 。

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラム

図 4 . 正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラム

©K.Tachibana

確率分布

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラムム

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random

sm = 52.2 # 平均（母平均）
ss = 9.5 # 標準偏差（母標準偏差）
sn = 10000 # 母数
en = 5 # 標本数
x = np.random.normal(loc=sm, scale=ss, size=sn)
sampled = random.sample(x.tolist(), en) #無作為抽出

fig = plt.figure()

ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)
ax2 = fig.add_subplot(2, 1, 2)

ax1.hist(x)
ax2.hist(sampled)
plt.show()

average1 = np.mean(x)
stdev1 = np.std(x)

average2 = np.mean(sampled)
stdev2 = np.std(sampled)

print('inf',sm,ss)
print(sn,average1,stdev1)
print(en,average2,stdev2)

©K.Tachibana

よく使う分布

表 14 . よく使う確率分布
種類	分布	例

連続分布	🖱 正規分布
	`t`-分布	母平均の区間推定、母平均の有意差検定 ^22 ) (t検定)
	`χ`( カイ) ²-分布 *	標本標準偏差s
	`F`-分布	分散の比、母分散の有意差検定（F検定） ^23 ) 実験計画法分散分析
	一様分布	一様乱数
	対称三角分布
ワイブル分布
離散分布	超幾何分布
	２項分布
	ポアソン分布
力学	ボルツマン分布	マクスウェルボルツマン統計
	フェルミ分布	フェルミディラック統計
	ボーズ分布	ボーズアインシュタイン統計

偶然に現れる変数を確率変数と言います。確率変数がどのような確率で現れるかを表現したものを確率分布といいます。

TRPG クトゥルフWEBダイス

情報量（エントロピー）の単位

表 15 . 情報量（エントロピー）の単位

対数の底	通常の単位	JISおよびISOが定めた単位

2	ビット (bit)	シャノン (shannon)
e	ナット (nat)	ナット (nat)
e	ディット (dit)	ハートレー (hartley)

① 情報処理概論 ⑮ エネルギー化学特論 ⑨ 品質管理 ⑮ エネルギー化学

シャノンの理論によれば、情報量は、エントロピーであり、実際、情報の通信や維持には、熱エネルギーが発生する。

◇ 参考文献

🏫 品質管理

q71

品質管理

https://edu.yz.yamagata-u.ac.jp/public/53225/53225_09.asp

名称：教育用公開ウェブサービス

URL： 🔗 https://edu.yz.yamagata-u.ac.jp/

管理運用：山形大学学術情報基盤センター

🎄🎂🌃🕯🎉

名称：サイバーキャンパス「鷹山」

URL: 🔗 http://amenity.yz.yamagata-u.ac.jp/

管理運用：山形大学データベースアメニティ研究会

〒992-8510 山形県米沢市城南4丁目3-16

	自然物	人工物
	自然物	工芸品	工業製品

例1：道具	さえずる小鳥	パイプオルガン	🚂 ピアノ
例2：食べ物	魚	回らない寿司	カップラーメン
例3：エネルギー	柴		電気、ガス、灯油
作り手	なし	職人、技能者、クリエータ	労働者、作業者（※設計は技術者）
顧客	なし	王侯貴族、教会、富裕層	市民、庶民
歴史	なし		産業革命以降
形態		献上、寄進	販売
量	ありのまま	丹精込めてひとつ	工場で大量生産
品質(Q)	ありのまま	丹精込めてひとつ	同じ品質、ばらつきなし
コスト(C)	ただ？	非売品？	安く、低コスト ^1 )
納期(D)			早く、即納（店売り）
環境(E)	持続可能	保護	廃棄物

数値	区分	細分	説明

測定値	系統誤差	反復測定において、一定のままであるか、または予測可能な変化をする測定誤差の成分。
		機械的誤差	ノギス、天秤、メスシリンダーなど測定器の精度や精確さ（確度）による誤差
		個人的誤差	測定者のくせによる誤差
		理論的誤差	理論の省略などによる誤差
	偶然誤差 random error		反復測定において、予測が不可能な変化をする測定誤差の成分。誤差論（確率・統計）の対象
計算値	計算誤差		ＡＤ変換、ＤＡ変換、丸め誤差や計算精度による誤差、数値データの格納方式による誤差。
設計値	公差 tolerance	製品の仕様図や設計図で、基準値から許容される値。方向が指定されてより具体的なものは許容値と呼ばれる。

用語	定義	備考

誤差（ error ）
偶然誤差（ random error ）	反復測定において、予測が不可能な変化をする測定誤差の成分
系統誤差（ systematic error ）	反復測定において、一定のままであるかまたは予測可能な変化をする測定誤差の成分
ばらつき（ dispersion ）	測定値がそろっていあいこと。また、ふぞろいの程度。	偶然誤差とほぼ同義。
かたより（ bias ）	測定値の期待値と真値の差	系統誤差とほぼ同義。
不確かさ（ uncertainty ）	測定値に付随する、合理的に測定対象量にむすびづけられる値の広がりを特徴づけるパラメータ	知識の曖昧さも含む
反復（ replicate ）	同一の測定対象量に対する測定を複数回行うこと	測定条件が同一かどうかによらない。実験計画法では、ブロック単位での実験を指す。
繰り返し（ replicate ）	同一の測定対象量に対する測定手順、オペレータ、操作条件、場所が同一の、短期間での測定の反復	操作条件は、因子。繰り返し数は、標本数に相当する。
再現性（ reproducibility ）	測定の再現条件下での測定の精密さ
精密さ（ precision ）		精度。ばらつきの小ささを表す。
精確さ（ accuracy ）		確度
測定値	規定された測定手順に実施によって得られる量の値	測定を反復するときは、個々の値、もしくは代表値（平均値や中央値など）のいずれも測定値と呼ぶ。
指示値	測定器が提示する量の値

種類	例	説明

文書作成ワープロ	Microsoft Word google doc deepl	論文や報告書、あるいはそれらの要旨などの文書を作成、印刷するアプリです。 ^16 )
表計算	Microsoft Excel google sheet	数値を計算し、表やグラフなどの図表を作成するアプリです。平均、標準偏差などの統計量も計算できます。データの件数は 30件程度までが適切です。それ以上の件数の場合、データベースアプリと連携して抽出したデータを使う方が効率的です。
👨‍🏫 プレゼンテーション	Microsoft Powerpoint google slide	講演スライドやポスターを作成できます。 ^17 )
グラフィックス	illustrator photo shop svgtopng gitmind mermaid	図形、地図や写真などの画像の作成や編集をします。
ＣＡＤ	Solid works *	図面
ＣＡＤ	Autodesk AutoCAD Web	図面
生成ＡＩ	Chat GPT Gemini	文章や画像の生成をします。
Ｗｅｂページ作成	HTML editor
データベース	Microsoft Access Microsoft SQL Server
動画編集
👨‍🏫 プログラミング	google colab
ビジネス・グループウェア	メールチャット Slack 会議 Zoom, Teams, Meet カレンダー、連絡先、名刺交換 SNS

名称	グラフ	説明

指数関数		python +matplotlib import numpy as np import math import matplotlib.pyplot as plt xy = [(p, math.exp(p)) for p in \ np.arange(start = - 2, stop = 2, step = 0.1)] z = [list(t) for t in zip(*xy)]; x = z[0]; y = z[1] fig, ax = plt.subplots() ax.plot(x, y) plt.show()
逆ネルンスト		電池の充放電曲線で現れます。
確率曲線
正規分布関数		確率統計で多用されます。品質管理でも大切です。

◇ 品質はばらつく！統計で使う分布関数とその性質

自然物、工芸品、工業製品

データ

数値の表現

測定の信頼性と用語

数学の歴史

放射能と指数分布

放射能計測と一様分布

一様分布と乱数とモンテカルロ法

格子定数と粉末Ｘ線回折

格子の乱れとピークの幅－正規分布－

確率変数と確率分布

分布関数と確率密度関数

分布関数と確率密度関数

全数調査（悉皆(しっかい)調査）と標本調査（サンプル調査）

データ、データベース、ビッグデータ

母平均と標本平均

アプリ

無作為抽出

式の要素

図形と関数

正規分布関数

正規乱数のヒストグラム

正規乱数のヒストグラム

体重

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラム

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラムム

よく使う分布

情報量（エントロピー）の単位

◇ 参考文献

型	数	プログラミング言語

整数	整数	Basic (Int), C(int),
単精度浮動小数点	実数	Basic (Single), C(float),
倍精度浮動小数点	実数	Basic (Double), C(double), Python (float)
	複素数	Python (complex)

◇ 品質はばらつく！統計で使う分布関数とその性質

自然物、工芸品、工業製品

データ

数値の表現

測定の信頼性と用語

数学の歴史

放射能と指数分布

放射能計測と一様分布

一様分布と乱数とモンテカルロ法

格子定数と粉末Ｘ線回折

格子の乱れとピークの幅－正規分布－

確率変数と確率分布

分布関数と確率密度関数

分布関数と確率密度関数

全数調査（悉皆(しっかい)調査）と標本調査（サンプル調査）

データ、データベース、ビッグデータ

母平均と標本平均

アプリ

無作為抽出

式の要素

図形と関数

正規分布関数

正規乱数のヒストグラム

正規乱数のヒストグラム

体重

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラム

正規乱数のヒストグラムと、そこから無作為抽出されたヒストグラムム

よく使う分布

情報量 （エントロピー） の単位

◇ 参考文献

情報量（エントロピー）の単位