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🔋C1 Laboratory
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🔋C1 Laboratory
演算処理と数式処理～微分方程式はコンピュータで解こう～
数字がなくても、量で数を表現できます。 長さは、認知可能な量なので、 モノサシで量から量へアナログ対応させ、数から数への計算をしました。 それが計算尺です。
置数のための キーボード、表示のためのディスプレイがあり、 加算、減算、乗算、除算などの演算機能を備えています。 テンキーで数字であらわしたひとつの数値データを置数し、演算キーを使って、デジタル計算ができます。 量の計算をするときは、あらかじめ量を単位で割って、数値データとして入力します。
| 型 | 数 | プログラミング言語 | |
|---|---|---|---|
| 整数 | 整数 | Basic (Int), C(int), | |
| 単精度浮動小数点 | 実数 | Basic (Single), C(float), | |
| 倍精度浮動小数点 | 実数 | Basic (Double), C(double), Python (float) | |
| 複素数 | Python (complex) |
測定値などを表す数字のうちで、位取りを示すだけの0を除いた、意味のある数字を有効数字と言う。 たとえば、1.234g±0.012gという測定結果があり、これを 不確かさ を無視して１つの値y=1.234gとして表すことを考える。 不確かさ を考慮した値はおおむね1.222g～1.246gの範囲にあると考えられる。 1 )
このことは、測定値に限ったことではありません。 たとえば、円周率という数には、確かな値がありますが、数字で表現しようすれば、 3.14あるいは3.14159という具合に表現しなければなりません。 やはり有効数字が存在するのです。
さらにこれは10進数に限ったことではありません。 コンピュータの内部では、2進数で表現されることが多くあります。 その表現形式もさまざまです。 単精度浮動小数点や倍精度浮動小数点といった形式があるのは、そのためです 2 ) 。
倍精度浮動小数点は、実数を64ビットで表現します。 実数は無限集合です。それに対して64ビットの表現は264の有限集合です。 実数とデジタル数値を１：１対応させることはできません。 必ず量子化誤差が入ります。
| 項目 | html | MathML | TeX | ASCIIMath | |
|---|---|---|---|---|---|
| 変数 | x | $$x$$ | |||
| 量 | R | $$R$$ | |||
| 量 | Cs | $$C_\mathrm{s}$$ | 量名では、下付き文字は、立体文字（ローマン体）を使います。 MathMLでは、mathvariant属性に"normal"を指定します。 TeXでは、\(C_\mathrm{s}\)とするのに、_\mathrm{s}などと表現します。 | ||
| 化学式 | CO2 | $$\mathrm{CO}_2$$ | |||
| ギリシャ文字 | α,Ω * | $$\Omega,\vartheta$$ * python の matplotlibなどでギリシャ文字を \u03b8や \N{greek small letter theta} のように 別文字列 ** を使います。 |
| 日本語 | html | |
|---|---|---|
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[数学]
a定数
[物理]
a加速度
[SI接頭語]
a
アト（atto）10-18
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[数学]
b定数 |
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[数学]
c定数 [物理] c 光速度 |
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[数学]
d
微分
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[数学]
e
ネーピア数
[数学]
e
素電荷
（elementary charge）
[電気化学]
E
起電力
（
electoro motive force
）
[電磁気]
E
電界
（
electric field
）
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[数学]
f
関数（function）
[物理]
f
周波数(frequency)（例ω=2πf）
[物理]
F
ファラデー定数
[物理]
F
力（force）
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[物理]
g
重力の標準加速度
[物理]
G
万有引力定数
[物理]
G
ギブスの自由エネルギー
【例】G=H-TS
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[物理]
g
プランク定数
[物理]
H
エンタルピー
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[数学]
i
虚数単位(image)
[数学・情報]
i
序列番号(index)
[物理]
I
強度（intensity）、
電流
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[電気]
j
虚数単位(※iは電流と紛らわしいので)
[電気化学]
j
電流密度(※iは電流と紛らわしいので)
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|
[数学]
i
虚数単位(image)
[数学・情報]
i
序列番号(index)
[物理]
I
強度（intensity）、
電流
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[単位]
K
[物理]
kB
ボルツマン定数
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物理量 の 記号 は， ラテン文字 または ギリシャ文字 の 1文字を用い，イタリック体（斜体）で印刷する。その内容を さらに明確にしたいときには，上つき添字または下つき添字（あるいは両方）に固有の意味をもたせて用い，さらに 場合に応じて，記号の直後に説明をカッコに入れて加える。 単位 の記号はローマン体（立体）で印刷する。物理量の 記号にも 単位 の記号にも，終わりにはピリオドをつけない 4 ) 5 ) 。 *
| 日本語 | html | |
|---|---|---|
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α崩壊 |
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β崩壊 |
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Γ関数 、γ崩壊 、活量係数γ |
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差分Δ |
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[数学]微少量、ε-δ論法
[統計]誤差
[電磁気] 誘電率ε
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[制御]
ダンピング係数
[電気化学]ゼータ電位
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[物理] 粘性係数
[電気] 電力効率・電源効率など
[電気化学]過電圧
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[数学] 角度
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[電気化学]
導電率κ
[数学] 曲率
[物理] 比熱比
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[電気化学]
当量導電率
[数学] 固有値λ
[プログラミング] ラムダ式
[物理] 波長λ
・弾性率・熱伝導率
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[全般] 単位の接頭辞（マイクロ）
[化学]化学ポテンシャルμ
[統計] 母平均
[物理]
透磁率・摩擦係数・ずり弾性率・粘性係数
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[電磁気] 周波数（振動数）
[物理] 動粘性係数
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ο株 |
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総乗（総積）Π 円周率π 、π軌道（結合） |
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抵抗率ρ |
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[化学]
σ軌道（結合）
[数学] 数列の和、総和Σ
[統計]
母標準偏差
[電気] 導電率
[物理] 応力・ポアソン比
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[電気]
[制御]
時定数
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位相角 φ |
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χ2分布 |
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電気抵抗の単位
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pythonの matplotlibでは、 TeXが使えます。ギリシャ文字は \+unicodeで指定します。
物理量 の 記号 は， ラテン文字 または ギリシャ文字 の 1文字を用い，イタリック体（斜体）で印刷する。その内容を さらに明確にしたいときには，上つき添字または下つき添字（あるいは両方）に固有の意味をもたせて用い，さらに 場合に応じて，記号の直後に説明をカッコに入れて加える。 単位 の記号はローマン体（立体）で印刷する。物理量の 記号にも 単位 の記号にも，終わりにはピリオドをつけない 6 ) 7 ) 。 *
| 数式 | 意味 | 説明 |
|---|---|---|
| 一次関数 直線 |
数に量の意味はありません。 変数 には、x,y,zのようにアルファベットの後ろの方を使い 定数には、a,b,cのようにアルファベットの前の方を使います。 デカルト座標系では、 図形を表します。 座標の数に量を割り当てたものをグラフやチャートと呼びます。 |
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気体の状態方程式 1662～1802 | 左辺 pV が 仕事、 右辺nRTが熱量で、 エネルギー収支を表す量方程式です。 量方程式なので量を単位で割った数値を代入したり求めたりします。 |
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ネルンストの式 1889 | |
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ボルツマンの式 1877 |
数式には、インドアラビア数字、 ラテン文字、 ギリシャ文字、記号など多くの文字が現れます。 文字の多くは、数を表現します。量を数で表現している場合もあります。
数式は、量との量の関係を表現しているので、グラフにできます。
数式で数値を求めるときは、量を単位で割ってから代入します。このような数式を量方程式あるいは 量式*と言います。 単位が指定された数式を 数値方程式 と言います。単位の定義が変わると 数値方程式 の係数も変わります。 文献に記載された 数値方程式 を使う場合は、単位の定義がいつのものなのかを確認する必要があります。
コンピュータ上では直接数式を表現できないため、 TeXを使います。 MathMLを使います。
👨🏫 数式の表現、量の表現 👨🏫 ウルフラムアルファ（WolframAlpha）| 要素 | 数式 | プログラミング言語 | |
|---|---|---|---|
| C | python | ||
| 変数 |
public double x; |
||
| 関数 |
double f(double x); |
||
| 関数と従属変数 |
double f(double x) {
return y;
}
|
||
| 定義域 |
|
C では、VBのselect構文のように switch構文では、定義域を指定することはできません。 結局if構文をネストさせることになります。 |
python
では、switch構文はありませんが、
elif構文でネストさせずに定義域を指定できます。
if x == 0:
print('0')
elif x < 0:
print('負')
elif x > 1:
print('正')
else:
print('発散')
|
| 和 |
for ( i = 1; i < n; i ++ ) {
s += k[i];
}
|
for i in range(1, n): s = s + k[i]* |
|
Phthon (パイソン）は、多様なデータ構造が組み込まれているので、データ処理しやすい言語仕様です。 Anaconda（アナコンダ）や、Google Colaboratoyなどの開発環境があります。 Phthonには、数値計算ライブラリNumPyがあります。 NumPyは、CやふFORTRANで、実装されていて、高速で実行できます。 ほかにも、Matplotlib(グラフ描画ライブラリ） pandas(データ分析ライブラリ） TensorFlow(機械学習ライブラリ） OpenCV（画像処理ライブラリ） など便利なライブラリが多数あります。
Computer algebra, コンピュータを用いて数式を記号的に処理するソフトウェア
Mathmatica, Symbolic Math Toolbox MuPAD for MATLAB, SageMath
Stephen Wolfram(スティーブン・ウルフラム)
たとえば4bitで色を表現するとしたら、24=16通りに表現できます。
A T G C A T G C A T G C A T G Cでも2bitしかなかったら、22=4通りしか表現でません。
A T G C A T G C A T G C A T G Cディジタル化とはそういうことです。
| 項目 | デジタル | アナログ |
|---|---|---|
| 表現 |
18:33
|
|
| 装置例 |
デジタル時計 データロガー ファンクションジェネレータ |
アナログ時計 ペンレコーダ 発振器 |
| 特徴 |
数字（文字）
測定数値を正確に表現 |
量（
角度・長さ）
連続的で微妙な変化を一目で直感的に表現 |
| エラー・ミス | 読み違え、 桁間違い、単位間違い | ほぼなし |
| 精度 | 有限（桁数） | 無限 |
| 時間遅れ※1 | あり | なし |
| 媒体 間のコピー | 容易・高速 | |
| 順序※2 | あり | なし |
| 約束事 | あり | なし |
| 曖昧さ | なし | あり |
| 感覚 | 論理的 | 直感的 |
| 画像 |
|
|
| 音声 |
|
※1. 地上デジタル放送になって、テレビから時報が消えました。 それはデジタル情報には、時間遅れが必ず生じるからです。
※2. デジタルを送るには順序が必要です。エンディアンやバイトオーダーなどと言われます。 シリアライズと同等の概念です。 本質的には言語の線条化と同じ概念です。
ビット深度が低いと色 数が少なくなります。 ヒメシャラの花の 色 は、背景の色と区別がつかなくなります。 解像度（画素数）が低いと矩形（ブロック）になります。 ブロックノイズ は、解像度（画素数）の 量子化ノイズです。 ビット深度が低く、解像度（画素数）が低いほど、情報量も小さくなります。
横軸が周波数のグラフを、 スペクトルと言います。 フーリエ変換は、横軸を時間から、周波数に変換する方法です。 デジタルコンピュータの発展で、さまざまな応用ができるようになりました。
時間領域と周波数領域 を変換する フーリエ積分を、離散量に置き換えて近似したものをデジタルフーリエ変換（ＤＦＴ）と言います。 ＤＦＴは行列演算として表現できます。
フーリエ変換というのは、音を聞いて音程を言うようなものです。 音は時間に対する圧力変化です。音程は周波数に対応します。 このように時間の関数を周波数の関数に変える計算方法がフーリエ変換です。 高速フーリエ変換とは、その計算回数を減らしたアルゴリズムです。
協力：ウルフラムリサーチ
微分や導関数，極限値，不定積分，定積分，微分方程式の解法はマセマティカできる時代です．
山形大学大学院理工学研究科の過去問を解いてみよう.
マセマティカは，楽器の演奏もできます．MathematicaのSoundとSoundNote という組み込みシンボルを使います．
Sound[{{SoundNote["E5", {0, 0.75}, "Piano"], SoundNote["C", {0, 0.5}, "Piano"]},
{SoundNote["D5", 0.25, "Piano"], SoundNote["E", {-0.25, 0.25}, "Piano"]},
SoundNote[{"C5", "G"}, 0.5, "Piano"]}]
Mathematicaでディープラーニングを行うことができるようです． AIやディープラーニングについては，第11回の授業で触れる予定です．
ラプラス演算子を使って伝達関数を求めよう．ラプラス演算子を用いると，
コイル = Ls, 抵抗 = R, コンデンサ=1/Cs
と記述できる．
オームの法則をつかって伝達関数を求める．例えば，RC並列回路の伝達関数は，
1/(Cs + 1/R)と表せる．
関連科目は，「数学I 微分方程式とRLC回路」，「数学IV ラプラス変換とラプラス演算子」，「情報エレクトロニクス概論 交流回路」に関連するので，伝達関数やRCL回路の詳細はここでは触れない． RCL回路のシミュレーションは，マセマティカを使いましょう．
下図はクーロンポテンシャルとＨＯＭＯのイメージです。 クーロンポテンシャルは原子核のまわりにできるへこみみたいなものです。 電子はそこにたまる水みたいなものです。 マセマティカでは、 このような３Ｄイメージを作成できます。
２月１３日からの患者数をシグモイド曲線で最小二乗法でフィッティングして患者数を予測しました。 あくまで現時点のデータ数からの予測なので、予測が大幅にずれることもあります。
Mathematicaには，ウェブベースで使えるOnline版がある． Wolfram Research社は，新型コロナウイルスに対応として，工学部において，Mathematica Onlineが利用できるようになりました． すでに，「Your access to Mathematica | Online Unlimited Site」という件名の招待メールが学生さんに届いると思います． ラインセス管理者からの下記の手順に従ってサインアップして，微分方程式を解いてみよう．大学院入試の過去問は，どうかなぁ．
（１）https://account.wolfram.com/login/oauth2/sign-in にアクセスします
（２）Create One からメールアドレス（ｙｚまたはｓｔ）を登録します
このとき 姓、名、所属等の必要事項を入れます
所属機関: Yamagata University
（３）Wolfram Research から招待メールが届きます
招待メールからアカウントをアクティベートします
（４）https://www.wolframcloud.com/ にログインすればMathematica Onlineが
使用できます
0036 0033 0077 0088
ホームページに公開するとき amenity
