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演算処理と数式処理～微分方程式はコンピュータで解こう～
電卓が無かった時代、そろばん名人は実務家としてもてはやされた。ワープロがなかった時代、祐筆は有能な事務方としてもてはやされた。いまだって暗算の名人も書の達人もすごいのだが、電卓とワープロが普及した現在、すごくない庶民だって仕事ができる。
コンピュータが数式を解けなかった時代、微分方程式を解けることはエンジニアの実力のステータスだった。いまだって微分方程式が解ければ、大学院の入学試験で有利であろう。でもコンピュータが数式を解ける現在、庶民だって微分方程式が解ける。
演算 ＝ ある何かと何かを数学的な処理をすること
情報技術基礎, pp.45-46, p.87
MATLAB, Mathematica, Scilab, Sagemath, Octave
Cleve Moler (クリーブ・モラー)
| 要素 | 数式 | プログラミング言語 | |
|---|---|---|---|
| C | Python | ||
| 変数 |
public double x; |
||
| 関数 |
double f(double x); |
||
| 関数と従属変数 |
double f(double x) {
return y;
}
|
||
| 定義域 |
|
Cでは、VBのselect構文のように switch構文では、定義域を指定することはできません。 結局if構文をネストさせることになります。 |
Pythonでは、switch構文はありませんが、
elif構文でネストさせずに定義域を指定できます。
if x == 0:
print('0')
elif x < 0:
print('負')
elif x > 1:
print('正')
else:
print('発散')
|
| 和 |
for ( i = 1; i < n; i ++ ) {
s += k[i];
}
|
for i in range(1, n): s = s + k[i]* |
|
Computer algebra, コンピュータを用いて数式を記号的に処理するソフトウェア
Mathmatica, Symbolic Math Toolbox MuPAD for MATLAB, SageMath
Stephen Wolfram(スティーブン・ウルフラム)
たとえば4bitで色を表現するとしたら、24=16通りに表現できます。
A T G C A T G C A T G C A T G Cでも2bitしかなかったら、22=4通りしか表現でません。
A T G C A T G C A T G C A T G Cディジタル化とはそういうことです。
| 項目 | デジタル | アナログ |
|---|---|---|
| 表現 |
01:24
|
|
| 装置例 |
デジタル時計 データロガー ファンクションジェネレータ |
アナログ時計 ペンレコーダ 発振器 |
| 特徴 |
数字（文字）
測定数値を正確に表現 |
量（
角度・長さ）
連続的で微妙な変化を一目で直感的に表現 |
| 精度 | 有限（桁数） | 無限 |
| 時間遅れ※1 | あり | なし |
| 媒体 間のコピー | 容易・高速 | |
| 順序※2 | あり | なし |
| 約束事 | あり | なし |
| 曖昧さ | なし | あり |
| 感覚 | 論理的 | 直感的 |
| 画像 |
|
|
| 音声 |
|
※1. 地上デジタル放送になって、テレビから時報が消えました。 それはデジタル情報には、時間遅れが必ず生じるからです。
※2. デジタルを送るには順序が必要です。エンディアンやバイトオーダーなどと言われます。 シリアライズと同等の概念です。 本質的には言語の線条化と同じ概念です。
| 年代 | 方法 | |
|---|---|---|
| 1811 | フーリエ変換 | |
| 1957 | 二重積分ADC 数値計算へ | |
| 1965 | FFT *1 *2 | |
| 1970～ | フーリエ変換赤外分光法 | |
| 1970～ | Ｘ線ＣＴスキャン | |
| 1970～ | ＦＲＡ * | |
| 1972 | デジタル録音 (13bit・47.25kHz) | *|
| 1981 | ビデオ用ADC (8bit,30MHz) | *|
| 1995～ | jpeg画像 * | |
| 1995～ | mp3音声 * | |
| 1999 | ADSL（50.5Mbps） * | |
| 1999 | 2004ｇメール（15Gbyte） * | |
| 2006～ | 第三次AIブーム * | |
時間領域と周波数領域 を変換する フーリエ積分を、離散量に置き換えて近似したものをデジタルフーリエ変換（ＤＦＴ）と言います。 ＤＦＴは行列演算として表現できます。
フーリエ変換というのは、音を聞いて音程を言うようなものです。 音は時間に対する圧力変化です。音程は周波数に対応します。 このように時間の関数を周波数の関数に変える計算方法がフーリエ変換です。 高速フーリエ変換とは、その計算回数を減らしたアルゴリズムです。
協力：ウルフラムリサーチ
微分や導関数，極限値，不定積分，定積分，微分方程式の解法はマセマティカできる時代です．
山形大学大学院理工学研究科の過去問を解いてみよう.
マセマティカは，楽器の演奏もできます．MathematicaのSoundとSoundNote という組み込みシンボルを使います．
Sound[{{SoundNote["E5", {0, 0.75}, "Piano"], SoundNote["C", {0, 0.5}, "Piano"]},
{SoundNote["D5", 0.25, "Piano"], SoundNote["E", {-0.25, 0.25}, "Piano"]},
SoundNote[{"C5", "G"}, 0.5, "Piano"]}]
Mathematicaでディープラーニングを行うことができるようです． AIやディープラーニングについては，第11回の授業で触れる予定です．
ラプラス演算子を使って伝達関数を求めよう．ラプラス演算子を用いると，
コイル = Ls, 抵抗 = R, コンデンサ=1/Cs
と記述できる．
オームの法則をつかって伝達関数を求める．例えば，RC並列回路の伝達関数は，
1/(Cs + 1/R)と表せる．
関連科目は，「数学I 微分方程式とRLC回路」，「数学IV ラプラス変換とラプラス演算子」，「情報エレクトロニクス概論 交流回路」に関連するので，伝達関数やRCL回路の詳細はここでは触れない． RCL回路のシミュレーションは，マセマティカを使いましょう．
下図はクーロンポテンシャルとＨＯＭＯのイメージです。 クーロンポテンシャルは原子核のまわりにできるへこみみたいなものです。 電子はそこにたまる水みたいなものです。 マセマティカでは、 このような３Ｄイメージを作成できます。
２月１３日からの患者数をシグモイド曲線で最小二乗法でフィッティングして患者数を予測しました。 あくまで現時点のデータ数からの予測なので、予測が大幅にずれることもあります。
Mathematicaには，ウェブベースで使えるOnline版がある． Wolfram Research社は，新型コロナウイルスに対応として，工学部において，Mathematica Onlineが利用できるようになりました． すでに，「Your access to Mathematica | Online Unlimited Site」という件名の招待メールが学生さんに届いると思います． ラインセス管理者からの下記の手順に従ってサインアップして，微分方程式を解いてみよう．大学院入試の過去問は，どうかなぁ．
（１）https://account.wolfram.com/login/oauth2/sign-in にアクセスします
（２）Create One からメールアドレス（ｙｚまたはｓｔ）を登録します
このとき 姓、名、所属等の必要事項を入れます
所属機関: Yamagata University
（３）Wolfram Research から招待メールが届きます
招待メールからアカウントをアクティベートします
（４）https://www.wolframcloud.com/ にログインすればMathematica Onlineが
使用できます
0036 0033 0077 0088
ホームページに公開するとき amenity
