1. インピーダンスと電池の基礎

図 1 . 二酸化炭素濃度の推移

2025年5月12日の CO₂ 濃度は、 推定449ppm。この100年間で、地球大気中の二酸化炭素の濃度は1.4倍になった。前史時代の二酸化炭素濃度は、280ppmでほぼ一定だった。石炭を使い始めた産業革命から指数的に増加を始めた。石油を使い始めてからは指数項が加わった。

日本の炭素強度は、580gCO₂eq/kWh

今、地球がヤバい。脱炭素社会には再生可能エネルギーの活用が必須。そのためには、電気エネルギーを備蓄する電池が必須なのだ。

国土交通省、気象庁二酸化炭素濃度の経年変化 https://ds.data.jma.go.jp/ghg/kanshi/ghgp/co2_trend.html
東北大学大学院理学研究科　大気海洋変動観測研究センター過去250年間の大気中二酸化炭素濃度の変動 http://caos.sakura.ne.jp/tgr/observation/co2

電池の電圧は電流に比例せず、線形システムではありません。一方、インピーダンスはシステムの線形性を仮定します。まずは、電池の起電力や内部抵抗など基本的なところをおさらいして、インピーダンス測定とどう折り合いをつけるかみてみましょう。

1.1 電池の起電力と内部抵抗

電池は電気を流さなくても電圧があります。これを電池の起電力といいます。このときの内部抵抗は無限大とみなせます。電池から電流を取り出すと電圧が下がります。この見かけの抵抗を内部抵抗と呼びます。

電流と電圧と電気抵抗の関係

電気量と電圧と静電容量の関係

回路計で測れる物理量

表 1 . 回路計で測れる物理量
物理量	単位	備考

電圧 `V`	V	乾電池の開回路電圧は1.65V。乾電池の公称電圧は1.5V。ダニエル電池の起電力は、1.1V 水の理論分解電圧は1.23V。
電流 `I`	A	豆電球の電流は 0.5A。ぽちっと光ったＬＥＤの電流は1mA。電流密度＝電流÷電極面積 $I = \frac{ⅆ Q}{ⅆ t}$
時間 `t`	s
電気量 `Q`	C	$Q = \int I ⅆ t$ 🖱 電気エネルギーは電気量×電圧
電気抵抗 `R`	Ω	$R = \frac{ⅆ V}{ⅆ I}$ , $V = R I$
静電容量 `C`	F ( ファラッド )	$C = \frac{ⅆ Q}{ⅆ V}$ , $V = \frac{1}{C} \int I ⅆ t$
インダクタンス `L`	H ( ヘンリー )	$L = \frac{V}{\frac{ⅆ I}{ⅆ t}}$ , $V = L \frac{ⅆ I}{ⅆ t}$

回路計は、電圧、電流、電気抵抗などを測定できます ^1

) 。

電気抵抗、静電容量、インダクタンスを実現する電子部品（回路素子）として抵抗器、コンデンサ（キャパシタ）、コイルがあります ^2

) 。

※数式 ※ 電気にまつわる量

電位プロファイル

均一固相反応（Ｓ字）と二相（Ｌ字）反応

1.2 電池の構造とインピーダンス

EVのバッテリーシステム

バッテリー、セル、電極

セルとセル定数

コイン電池（人間電池）

電池の表記と特性（電池式）

電池と電池式

ダニエル電池の模式図

ダニエル電池の動作

乾電池の模式図

リチウム電池の模式図

リチウムイオン二次電池

リチウムイオン電池の正極と負極

電池を動物に例えるなら

リチウムイオン二次電池の正極

リチウムイオン二次電池の負極

1.3 材料物性値とインピーダンス

インピーダンスから物性値へ（バッテリー、セル、界面とバルク）

電池、界面特性、物性値

表 2 . インピーダンスと物性との関係

計測可能な物理量（セル）	界面の特性値（面積）	バルクの物性値（セル定数）

電気抵抗 `R`[Ω] =電圧÷電流 $R = \frac{ⅆ V}{ⅆ I}$ , $V = R I$	反応抵抗（面積抵抗率） `R`_ct〔Ωm^-2〕 =電圧÷ 表面電流密度接触抵抗（界面抵抗） ^* ＝電圧÷表面電流密度	抵抗率（体積抵抗率）`ρ` =電場強度e÷ 断面電流密度抵抗率`ρ`〔Ωm〕＝電気抵抗R〔Ω〕÷ セル定数 `a`〔1/m〕電気抵抗`R`=抵抗率`ρ`×長さ`l`/面積`S` ^3 ) 抵抗率`ρ`=1÷導電率 $ρ = \frac{ⅆ e}{ⅆ j}$
コンダクタンス`G`[S] =1÷電気抵抗`R`		導電率 `σ`（ `κ`(カッパ)）〔Sm^-1〕、電気伝導度
静電容量（キャパシタンス）`C` $C = \frac{ⅆ Q}{ⅆ V}$ , $V = \frac{1}{C} \int I ⅆ t$	電気二重層容量`C`_d〔Fm^-2〕	誘電率 `ε`( イプシロン) =電荷密度÷ 電場強度e
インダクタンス`L` $L = \frac{V}{\frac{ⅆ I}{ⅆ t}}$ , $V = L \frac{ⅆ I}{ⅆ t}$		透磁率 `μ`

電池の内部抵抗は、バルク抵抗だけでなく、界面抵抗に左右されます。溶液に金属を浸しただけのダニエル電池のような単純な電池では、バルク抵抗が支配的ですが、合材電極や固体電解質を使うリチウムイオン電池のような複雑な電池では、界面抵抗が支配的です。 電池の内部抵抗の評価には、 交流評価と直流評価を組み合わせが必要です。

界面とバルク―等価回路―

界面を表す特性とバルクを表す物性があります。等価回路ではときどき不明瞭なものがありますので、単位で確認しましょう。

界面の特性

電解液の溶液抵抗

粒界界面の存在

粒子界面（点接触）の存在

固体粒子の接触は、点接触です。面積を見積もるのがとても大変です。界面の電流密度がわかりません。接触抵抗は電流集中を伴うので、圧縮などの影響を受けやすいのです。活物質や炭素材料、固体電解質などの取り扱いが難しいのはそのためです。

電極内部の界面の数

実用電池のほとんどは電極内部に複雑な構造を持ち、多種の材料からなる。たとえば活物質、導電助剤、バインダー、電解液、集電体としただけでその界面の組み合わせは₅C₂＝20通りに達するのである。このような電極に単純な等価回路を当てはめて議論するのは無理があり、かといって等価回路を複雑にしたところで意味がない。

バルクの物性値－導電率、誘電率－

1.4 ボーデプロットとコールコールプロット

コールコールプロット（ナイキストプロット）とボードプロットはインピーダンス測定結果の主要な表現です。とボードプロットにはしばしば両対数プロットが使われます。

インピーダンスに出てくる諸元

表 3 . インピーダンスに出てくる諸元
物理量	数式	備考

周期 `T`〔s〕		🖱山のてっぺんからてっぺんまでの時間です。
周波数 `f`〔Hz〕	f = 1/T	周波数と振幅で交流を表現します。
角周波数 `ω`( オメガ )	`ω`=2`πf`
電圧振幅`E`_p0		交流の大きさの表現には、振幅のほかにピークトゥピークや実効値があります (※)。
電流振幅`I`_p0	$I = \frac{ⅆ Q}{ⅆ t}$
インピーダンス `Z`〔Ω〕	$Z = R + j X$ *
絶対値 \|`Z`\|	$\|Z\| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}$
位相角 `φ`( ファイ )	$\tan (φ) = X / R$
アドミタンス `Y`〔S〕	$Y = G + j B$ *
インダクタンス `L`	$L = \frac{V}{\frac{ⅆ I}{ⅆ t}}$
静電容量`C`	$C = \frac{ⅆ Q}{ⅆ V}$
電気抵抗 `R`	$R = \frac{ⅆ V}{ⅆ I}$	インピーダンス `Z` の実部抵抗率× セル定数 $R = ρ \frac{d}{S}$
リアクタンス `X`		インピーダンス `Z` の虚部、 `X`=`ωL`-1/`ωC`
コンダクタンス`G`		アドミタンス `Y` の実部
サセプタンス `B`		アドミタンス `Y` の虚部

インピーダンスブリッジやインピーダンスブリッジメーターで測定します。

交流インピーダンス法による電池やキャパシタの評価

複素平面にプロットしたインピーダンス $Z$ の周波数 $f$ による軌跡をコールコールプロットまたはナイキストプロットと呼びます。

1. インピーダンスと電池の基礎
- 1.1 電池の起電力と内部抵抗
- 1.2 電池の構造とインピーダンス
- 1.3 材料物性値とインピーダンス
- 1.4 ボーデプロットとコールコールプロット

2. 電池のモニタリングにおけるインピーダンスの応用
- 2.1 電流センサー
- 2.2 組電池の電圧測定
- 2.3 ＡＤ変換とＤＡ変換
- 2.4 能動的制御とＧＰＳを使ったモニタリング

3. インピーダンスと数学
- 3.1 フーリエ変換とそのファミリー
- 3.2 離散変換とサンプリング
- 3.3 数式処理ソフトの活用

4. 電池のモデル作成
- 4.1 等価回路を使った古典的アプローチによる解釈
- 4.2 クラウドデータロガーとインピーダンスのビックデータ化
- 4.3 電池のモニタリングのためのネットワークインフラ
- 4.4 機械学習とビッグデータを活用したモデルの構築